N 阶幻方的计算原理

1、问题概述

幻方的定义 幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从1到𝑁2的连续整数组成，其中𝑁为正方形的行或列的数目。因此𝑁阶幻方有𝑁行𝑁列，并且所填充的数为从1到𝑁2。幻方是一个$n\times n$的方阵，方阵中填入从$1$到$n^{2}$的不同数字。其每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这个相等的和被称为幻和。
幻和的计算 对于$n$阶幻方，幻和$S = \frac{n(n^{2}+1)}{2}$。例如，对于三阶幻方（$n = 3$），幻和$S=\frac{3\times(3^{2}+1)}{2}=\frac{3\times(9 + 1)}{2}=15$。这是通过对$1$到$n^{2}$这$n^{2}$个数字求和（根据等差数列求和公式$\sum_{i = 1}^{n^{2}}i=\frac{n^{2}(n^{2}+1)}{2}$），再除以$n$（因为幻方有$n$行，且每行数字之和相等）得到的。
构造方法原理（以奇数阶幻方为例，如罗伯法）
- 把$1$放在第一行中间的位置。然后按以下规则填写数字：
  - 每一个数放在前一个数的右上一格。
  - 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列。
  - 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。
  - 如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的正下方。
- 以三阶幻方为例，首先把$1$放在第一行中间位置，即$(1,2)$这个位置。然后$2$要放在$1$的右上一格，由于超出了方阵范围（最顶行），所以$2$放在最底行（第三行）右一列，即$(3,3)$位置。$3$要放在$2$的右上一格，超出了最右列，所以放在最左列上一行，即$(2,1)$位置，以此类推可以完成整个幻方的构造。
偶数阶幻方（双偶数阶幻方，以四阶幻方为例，如对称交换法）
- 先将$1$到$n^{2}$（$n = 4$时，$1$到$16$）按顺序填入方阵。
- 把幻方划分为$k\times k$（$k=\frac{n}{2}$，对于四阶幻方$k = 2$）个小方阵，在这些小方阵中，对角线上的数字不动，其余数字关于小方阵的中心对称交换位置。
- 例如，在四阶幻方中，将数字按顺序填入后，划分为四个$2\times2$的小方阵，然后在每个小方阵中，除对角线上的数字外，其余数字进行中心对称交换，就可以得到一个四阶幻方。
单偶数阶幻方（$n = 2(2m + 1),m\in N$）构造原理较复杂（以六阶幻方为例，如斯特雷奇法）
- 可以将幻方分成$A$、$B$、$C$、$D$四个区域，先分别构造四个子幻方，然后通过一定的规则组合这些子幻方，并且进行一些数字的调整，最终得到完整的幻方。具体的构造过程涉及较多的步骤和规则转换。

根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、4k ${4k}$

阶幻方和4k+2 ${4k+2}$

阶幻方，其中M ${M}$

为自然数，2 ${}$

阶幻方不存在。

定义与准备
- 设我们要构造的幻方为(n)阶幻方（(n)为奇数），幻方中的元素为从(1)到(n^2)的整数。
- 定义幻方中第(i)行第(j)列的位置为((i, j))，其中(1in)，(1jn)。
- 根据罗伯法，将(1)放置在((1,))位置（第一行中间列）。
- 幻和(S = )，这是(n)阶幻方每行（列、对角线）数字之和的理论值，可由等差数列求和公式(_{k = 1}^{n2}k=)，再除以(n)得到（因为幻方有(n)行，且每行数字之和相等）。
位置规则的周期性证明
- 假设当前数字位于((i, j))位置，按照罗伯法，下一个数字应放置在其右上一格，即((i - 1, j + 1))位置（这里的坐标运算在(n)阶幻方的范围内进行取模运算）。
- 当向上移动超出第一行（(i - 1 = 0)）时，新位置变为((n, j + 1))。这是因为幻方是一个循环结构，从顶部超出后自然地转移到底部继续填充，保证了数字填充的连贯性。
- 当向右移动超出第(n)列（(j + 1>n)）时，新位置变为((i - 1,1))，即从右边超出后转移到左边继续填充，使得数字能够均匀地分布在方阵的各个位置。
- 这样就证明了位置规则的周期性，即数字的放置位置始终在幻方范围内且遵循一定的循环规律。
数字填充的遍历性证明
- 通过数学归纳法来证明所有从(1)到(n^2)的数字都能恰好被放置在幻方的一个位置上，且不会重复放置。
- 基础步骤：当放置第一个数字(1)时，它被放置在((1,))位置，显然是合理的放置。
- 归纳假设：假设已经按照罗伯法成功放置了前(k)个数字（(1k < n^2)），且每个数字都在幻方中有唯一的位置。
- 归纳步骤：考虑放置第(k + 1)个数字。根据位置规则，若按照右上一格的规则能找到一个空位，那么就将数字放置在该空位；若遇到要放置的位置已经有数字或者同时超出了最顶行和最右列，就把它放在前一个数的正下方。由于前面已经证明了位置规则的周期性，并且幻方有足够的空位（总共(n^2)个位置），所以一定可以找到一个合适的位置放置第(k + 1)个数字，且这个位置不会与前面已经放置的数字位置冲突。
- 综上，通过数学归纳法证明了数字填充的遍历性，即所有数字都能被正确放置在幻方中。
行、列和对角线数字之和相等的证明
- 行的证明：
  - 考虑任意一行，设为第(m)行（(1mn)）。由于数字是按照一定规律从左到右逐格填充的，且填充规则在每行都是相同的（都是根据右上一格的规则或者遇到特殊情况的调整规则）。
  - 从第一个数字开始，它进入该行的位置是根据前面数字的放置规则确定的，后续数字依次按照规则放置，这个过程保证了该行数字的组合是有规律的。
  - 而且，由于填充过程的对称性和规则的一致性，每一行填充数字的过程和结果都是相似的，所以每行数字之和相等，且等于幻和(S)。
- 列的证明：
  - 对于任意一列，设为第(p)列（(1pn)）。数字从上到下的填充规则同样是有规律的。
  - 当填充每一列的数字时，虽然是按照右上一格的规则，但从列的角度看，每一列数字的进入和排列方式也是相似的，因为位置规则保证了数字在列方向上的分布是均匀且有规律的。
  - 所以，每列数字之和相等，且等于幻和(S)。
- 对角线的证明：
  - 主对角线（从左上角到右下角）：主对角线位置为((i, i))（(1in)）。在填充过程中，数字按照右上方向的规则填充，会有数字依次落在主对角线上。
  - 由于填充顺序和规则的约束，这些数字的组合能够满足幻方要求。例如，第一个数字(1)放置在((1,))，在后续填充过程中，根据位置规则，会有其他数字逐渐填充到主对角线上，并且它们的和等于幻和(S)。
  - 副对角线（从右上角到左下角）：副对角线位置可以表示为((i, n - i + 1))（(1in)）。在填充过程中，虽然主要是右上方向填充，但在遇到边界和已填充数字的情况调整位置后，依然能保证副对角线上的数字组合满足幻和要求。
  - 具体来说，当按照右上一格的规则填充时，考虑到位置的周期性和调整规则，副对角线上的数字会按照一定的顺序被填充，并且它们的和等于幻和(S)。

通过以上步骤，从位置规则的周期性、数字填充的遍历性以及行、列和对角线数字之和相等几个方面，完整地证明了罗伯法构造奇数阶幻方的原理。